Maclaurin ati jijera ti diẹ ninu awọn iṣẹ

Keko ni ilọsiwaju mathimatiki yẹ ki o mọ pe awọn iye kan agbara jara ni aarin ti idapọ ti awọn nọmba kan ti wa, ni a lemọlemọfún ati Kolopin nọmba ti igba kan ti ya sọtọ iṣẹ. Awọn ibeere Daju: ti o ṣee ṣe lati jiyan wipe fi alainidi iṣẹ f (x) - ni apao ti a agbara jara? Ti o ni, labẹ ohun ti ipo ti f-sonu f (x) le ti wa ni ipoduduro nipasẹ kan agbara jara? Awọn pataki ti atejade yii ni pe o ti ṣee ṣe lati ropo to £ Theological f (x) ni iye diẹ akọkọ awọn ofin ti a agbara jara, ti o jẹ a onírúiyepúpọ. Iru kan rirọpo iṣẹ jẹ ohun rọrun ikosile - onírúiyepúpọ - ni rọrun ati ninu lohun awọn isoro ni mathematiki onínọmbà, eyun ni lohun integrals nigbati isiro iyato idogba , be be lo ...

O ti wa ni safihan, ti o fun diẹ ninu awọn f-ii f (x), ninu eyiti awọn itọsẹ ti awọn (n + 1) -th ibere le ti wa ni iṣiro, pẹlu awọn titun ni agbegbe (α - R; x ₀ + R) ti a ojuami x = α itẹ agbekalẹ ni:

Afida yi ni dárúkọ lẹhin awọn gbajumọ ọmowé Brooke Taylor. A nọmba ti eyi ti o wa ni yo lati išaaju ọkan, ni a npe ni a Maclaurin jara:

A ofin ti o mu ki o ṣee ṣe lati gbe awọn imugboroosi ni a Maclaurin jara:

1. Mọ awọn itọsẹ ti akọkọ, keji, kẹta, ... ibere.
2. Iṣiro ohun ti wa ni awọn itọsẹ ni x = 0.
3. Gba Maclaurin jara fun yi iṣẹ, ati ki o to mọ awọn aarin ti idapọ.
4. Mọ aarin (-R; R), ibi ti awọn péye ara ti agbekalẹ Maclaurin

R _n (x) -> 0 fun n -> infinity. Ti o ba ti ọkan wa, o iṣẹ f (x) gbọdọ jẹ dogba si iye ti awọn Maclaurin jara.

Ro bayi ni Maclaurin jara fun awọn ẹni kọọkan iṣẹ.

1. Bayi, ni igba akọkọ ti lati wa ni f (x) = e ^x. Dajudaju, ti won abuda ki f-IA ti ari a orisirisi ti bibere, ati f ^{(k) (x)} = ^{x e,} ibi ti k jẹ dogba si gbogbo awọn adayeba awọn nọmba. Aropo x = 0. A gba f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Da lori awọn ti isaaju naa, nọmba kan ti e ^x O ni yio je bi wọnyi:

2. Maclaurin jara fun awọn iṣẹ f (x) = ẹṣẹ x. Lẹsẹkẹsẹ pato ti f-sonu fun gbogbo awọn aimọ awọn itọsẹ yoo ni, Yato si f ^'(x) = nitori x = ẹṣẹ (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = ẹṣẹ (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = ẹṣẹ (x + n * k / 2), ni ibi ti k jẹ dogba si eyikeyi rere odidi. Ti o ni, ṣiṣe awọn ti o rọrun isiro, a le pinnu wipe awọn jara fun f (x) = x ẹṣẹ ni yio je bi yi:

3. Bayi jẹ ki ká ro iju f-f (x) = nitori x. O ti wa ni aimọ fun gbogbo awọn itọsẹ ti lainidii ibere, ati ^{| f (k) (x)} | = | Nitori (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... tún, o si ntẹriba ṣe diẹ ninu awọn isiro, a ri pe awọn jara fun f (x) = x nitori yoo wo bi yi:

Nítorí náà, a ti ṣe akojọ awọn pataki awọn ẹya ara ẹrọ ti o le wa ni ti fẹ ni a Maclaurin jara, sugbon ti won iranlowo awọn Taylor jara fun awọn iṣẹ. Bayi a yoo akojö wọn bi daradara. O yẹ ki o tun ti wa ni woye wipe Taylor jara ati Maclaurin jara ni o wa ohun pataki apa ti awọn onifioroweoro jara ti ipinnu ni o ga mathimatiki. Nítorí náà, Taylor jara.

1. Ni igba akọkọ ni kan lẹsẹsẹ ti f-ii f (x) = Ln (1 + x). Bi ni išaaju apeere, fun eyi ti a f (x) = Ln (1 + x) le ti wa ni ti ṣe pọ nọmba kan, lilo gbogbo fọọmu ti Maclaurin jara. ṣugbọn fun ẹya ara ẹrọ yi Maclaurin le gba Elo rọrun. Darapo a jiometirika jara, a gba nọmba kan fun f (x) = Ln (1 + x) ti awọn ayẹwo:

2. Ati awọn keji, eyi ti yoo wa ni ase ni yi article, ni yio je kan jara fun f (x) = arctg x. Fun x ini si aarin [-1; 1] jẹ wulo jijera:

Ti o ni gbogbo. Ni yi article mo ti diwọn julọ ti a lo Taylor jara ati Maclaurin jara ni ti o ga mathimatiki, paapa ni aje ati imọ iwe giga.