A eto ti PCM aljebra idogba. Isokan eto ti PCM aljebra idogba

Ni ile-iwe, kọọkan ti wa iwadi idogba ati, esan, awọn eto ti idogba. Sugbon ko opolopo awon eniyan mo wipe o wa ni o wa ni ọpọlọpọ ona lati yanju wọn. Loni a yoo ri gangan gbogbo awọn ọna fun lohun a eto ti PCM aljebra idogba, eyi ti o ti wa ni kq ju meji idogba.

itan

Loni ti a mọ pe awọn aworan ti lohun idogba ati awọn won awọn ọna šiše bcrc ni atijọ ti Bábílónì ati Egipti. Sibẹsibẹ, Equality ni wọn faramọ fọọmu han si wa lẹhin ti awọn iṣẹlẹ ti awọn dogba ami "=", eyi ti a ti ṣe ni 1556 nipa English mathimatiki gba. Nipa ona, yi aami ti a yàn fun idi: ti o tumo si meji ni afiwe dogba àáyá. Nitootọ, awọn ti o dara ju àpẹẹrẹ Equality ko ni wa soke.

Oludasile ti igbalode lettering ati awọn aami ti aimọ iye, awọn French mathimatiki Fransua Việt. Sibẹsibẹ, awọn oniwe-yiyan jẹ significantly o yatọ lati loni. Fun apẹẹrẹ, a square ti ohun aimọ nọmba ti o pataki nipa awọn lẹta Q (lat "quadratus".), Ati awọn cube - awọn lẹta C (lat "cubus".). Awọn aami bayi dabi itura, sugbon ki o si wà ni julọ ogbon ona lati kọ kan eto ti PCM aljebra idogba.

Sibẹsibẹ, a daradara ni awọn ti nmulẹ ọna ti awọn ojutu ni wipe mathematicians ti kà nikan ni rere wá. Boya yi jẹ nitori ti o daju wipe odi iye ko ba ni eyikeyi wulo ohun elo. Ona kan tabi miiran, ṣugbọn awọn akọkọ lati wa ni kà odi wá bẹrẹ lẹhin ti awọn Itali mathimatiki Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ati Raphael Bombelli ni 16th orundun. A igbalode wo, awọn ifilelẹ ti awọn ọna ti lohun kuadiratiki idogba (nipasẹ discriminant) a ti iṣeto nikan ni odunrun 17je orundun nipasẹ awọn iṣẹ ti Descartes ati Newton.

Ni arin ti awọn 18th orundun Swiss onimo mathimatiki Gabriel Cramer ri a titun ona lati ṣe awọn ojutu ti awọn ọna šiše ti PCM idogba rọrun. Yi ọna ti a daruko nigbamii lẹhin rẹ, ati ki o si yi ọjọ ti a lo o. Sugbon lori awọn ọna ti Kramer ká ọrọ kekere kan nigbamii, ṣugbọn fun awọn bayi a yoo ọrọ PCM idogba ati awọn solusan wọn lọtọ lati awọn eto.

PCM idogba

PCM idogba - awọn alinisoro idogba pẹlu ayípadà (s). Wọn ti wa si aljebra. PCM idogba kọ ninu gbogbo fọọmu bi wọnyi: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... ati _n * x _n = b. Ifakalẹ ti yi fọọmu ti a yoo nilo ni igbaradi ti awọn ọna šiše ati iwon lori.

A eto ti PCM aljebra idogba

Awọn definition ti yi oro ni: a ti ṣeto ti idogba ti o ni wọpọ unknowns ati gbogbo ojutu. Ojo melo, ni ile-iwe gbogbo re a eto pẹlu meji tabi paapa mẹta idogba. Ṣugbọn nibẹ ni o wa awọn ọna šiše pẹlu mẹrin tabi diẹ ẹ sii irinše. Jẹ ki ká wo akọkọ bi o si kọ wọn si isalẹ ki o nigbamii ti o wà rọrun lati yanju. Ni ibere, awọn eto ti PCM aljebra idogba yoo wo dara ti o ba ti gbogbo awọn oniyipada ti wa ni a kọ bi x pẹlu awọn ti o baamu Ìwé: 1,2,3 ati bẹ lori. Keji, o yẹ ki o ja gbogbo awọn idogba si awọn oṣuwọn ilana fọọmu: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... ati _n * x _n = b.

Lẹhin ti gbogbo awọn wọnyi igbesẹ, a le bẹrẹ lati so fun o bi o lati ri awọn ojutu ti awọn ọna šiše ti PCM idogba. Gidigidi fun ti yoo wa ni ọwọ matrix.

matrix

Matrix - kan tabili ti o oriširiši ti awọn ori ila ati awọn ọwọn, ati awọn oniwe-eroja ni o wa ni wọn ikorita. Eleyi le je boya kan pato iye tabi ayípadà. Ni ọpọlọpọ igba, lati designate eroja ti o wa ni idayatọ labẹ awọn subscripts (e.g., a ₁₁ tabi ₂₃ daradara). Ni igba akọkọ ti Ìwé tọkasi awọn kana nọmba, ati awọn keji - awọn iwe. Loke iwon bi loke ati awọn eyikeyi miiran mathematiki ano le ṣe orisirisi mosi. Bayi, o le:

1) iyokuro o si fi awọn iwọn kanna ti awọn tabili.

2) isodipupo awọn matrix si eyikeyi nọmba tabi fekito.

3) Transpose: pada matrix ila ninu awọn ọwọn, ati awọn ọwọn - ni ila.

4) se isodipupo awọn matrix, ti o ba awọn nọmba ti ila ti wa ni dogba si ọkan ninu wọn kan ti o yatọ nọmba ti awọn ọwọn.

Lati jiroro ni apejuwe gbogbo awọn ti awọn wọnyi ni imuposi, bi ti won wa ni wulo fun wa ni ojo iwaju. Iyokuro ati afikun ti iwon ni irorun. Niwon a ya kanna iwọn matrix, kọọkan ano ti ọkan tabili ni o ni ibatan si gbogbo miiran ano. Bayi ni a fi (iyokuro) meji ninu awọn wọnyi eroja (o jẹ pataki pe won ni won duro lori kanna ilẹ ni wọn iwon). Nigba ti di pupọ nipa awọn nọmba ti matrix tabi fekito o nìkan isodipupo kọọkan ano ti awọn matrix nipa ti nọmba (tabi fekito). Transposition - a gan awon ilana. Gan awon ma lati ri i ni gidi aye, fun apẹẹrẹ, nigbati yiyipada awọn iṣalaye ti a tabulẹti tabi foonu. Awọn aami lori awọn tabili ni a iwe sekondiri, ati pẹlu kan ayipada ti ipo, o ti wa ni transposed ati ki o di anfani, ṣugbọn n dinku ni iga.

Ẹ jẹ ki wadi sii a ilana bi matrix isodipupo. Biotilejepe o so fun wa, ati ki o jẹ ko wulo, ṣugbọn jẹ mọ o jẹ si tun wulo. Isodipupo meji iwon le jẹ nikan labẹ awọn majemu wipe awọn nọmba ti awọn ọwọn ninu ọkan tabili ni dogba si awọn nọmba ti ila miiran. Bayi ya kan matrix ila eroja ati awọn miiran eroja ti awọn ti o baamu iwe. Isodipupo wọn si kọọkan miiran ati ki o si naira (i.e., fun apẹẹrẹ, a ọja ti eroja ₁₁ ati ₁₂ ati ni ₁₂ b ki o si ₂₂ b yoo jẹ dogba si: a * b _{11 12} + ₁₂ * b ati _22). Bayi, a nikan tabili kan, ati ki o kan ọna iru si ti o ti wa ni kún siwaju.

Bayi a le bẹrẹ lati ro bi lati yanju awọn ọna šiše ti PCM idogba.

Gauss

Yi akori bẹrẹ lati ya ibi ni ile-iwe. A mọ gan daradara awọn Erongba ti "eto ti meji PCM idogba" ati ki o mo bi lati yanju wọn. Sugbon ohun ti o ba ti awọn nọmba ti idogba ni o tobi ju meji? Eleyi yoo ran wa Gauss ọna.

Dajudaju, yi ọna ti o jẹ rọrun lati lo, ti o ba ti o ba ṣe a matrix ti awọn eto. Ṣugbọn o ko ba le se iyipada ki o si pinnu lori awọn oniwe-ara.

Nítorí, bi o si yanju o nipa a eto ti PCM idogba Gauss? Nipa ona, ani tilẹ yi ọna ati ti a npè ni lẹhin rẹ, ṣugbọn awari o ni igba atijọ. Gauss ni o ni ohun isẹ ti gbe jade pẹlu awọn idogba, lati bajẹ ja si ni awọn totality to echelon fọọmu. Ti o ni, o nilo lati oke-mọlẹ (ti o ba ti tọ gbe) lati akọkọ si awọn ti o kẹhin idogba Ifeinu ọkan aimọ. Ni gbolohun miran, a nilo lati rii daju wipe a ti sọ ni, wipe, mẹta idogba: akọkọ - mẹta unknowns, ninu awọn keji - meji ninu awọn kẹta - ọkan. Nigbana ni, lati kẹhin idogba, a ri ni akọkọ aimọ, aropo awọn oniwe-iye ninu awọn keji tabi ni igba akọkọ ti idogba, ati siwaju ri awọn ti o ku meji oniyipada.

Cramer ká ofin

Fun idagbasoke ti yi ilana jẹ pataki lati Titunto si awọn ogbon ti ìròpọ, ìyọkúrò ti iwon, bi daradara bi awọn nilo lati wa ni anfani lati ri ifọwọsọya. Nitorina, ti o ba ti o ba wa korọrun n yi gbogbo tabi ko mo bi, o jẹ pataki lati ko eko ati ki o wa ni oṣiṣẹ.

Ohun ti o jẹ lodi ti yi ọna, ati bi o si ṣe bẹ, lati gba a eto ti PCM idogba Cramer? O ni irorun. A nilo lati kọ kan matrix ti awọn nọmba (fere nigbagbogbo) awọn olùsọdipúpọ ti a eto ti PCM aljebra idogba. Lati ṣe eyi, nìkan ya awọn nọmba ti awọn aimọ, ati awọn ti a seto kan tabili ni ibere ti won ti wa ni gba silẹ ninu awọn eto. Ti o ba ti o to awọn nọmba jẹ ami kan "-", ki o si a kọ odi olùsọdipúpọ. Nítorí náà, a ṣe akọkọ matrix ti awọn olùsọdipúpọ ti awọn unknowns, ko pẹlu awọn nọmba lẹhin ti awọn dogba ami (dajudaju, pe idogba ni lati dinku si awọn oṣuwọn ilana fọọmu nigbati awọn ọtun jẹ o kan kan nọmba, ati awọn osi - gbogbo awọn unknowns pẹlu olùsọdipúpọ). Ki o si ti o nilo lati ṣe kan diẹ iwon - ọkan fun kọọkan ayípadà. Fun idi eyi, ni akọkọ matrix ti rọpo nipa ọkan iwe kọọkan iwe awọn nọmba pẹlu awọn olùsọdipúpọ lẹhin ti awọn dogba ami. Bayi ni a gba kan diẹ iwon ati ki o si ri wọn ifọwọsọya.

Lẹhin ti a ri awọn qualifiers, o ni kekere. A ni ohun ni ibẹrẹ iwe sekondiri, ati nibẹ ni o wa ni ọpọlọpọ ti ari iwon, eyi ti badọgba lati yatọ si oniyipada. Lati gba a eto ojutu, a pín determinant ti awọn Abajade tabili lori awọn jc determinant ti awọn tabili. Abajade nọmba ni iye ti ọkan ayelujara. Bákan náà, a ri gbogbo awọn unknowns.

ọna miiran

Nibẹ ni o wa ni ọpọlọpọ awọn ọna ni ibere lati gba awọn ojutu ti awọn ọna šiše ti PCM idogba. Fun apẹẹrẹ, a npe ni ki-Gauss-Jordan ọna, eyi ti o ti lo fun wiwa awọn solusan ti awọn eto ti kuadiratiki idogba, ki o si tun tijoba si awọn lilo ti iwon. Wa ti tun kan Jacobi ọna fun lohun a eto ti PCM aljebra idogba. O si ni rọọrun adapts si gbogbo awọn kọmputa ati ki o ti lo ni iširo.

idiju igba

Complexity maa n waye ti o ba ti awọn nọmba ti idogba jẹ kere ju awọn nọmba ti oniyipada. Ki o si a le esan so pe, tabi awọn eto ti wa ni aisedede (ie, ni o ni ko wá), tabi awọn nọmba ti awọn oniwe-ìpinnu duro lati infinity. Ti a ba ni awọn keji nla - o jẹ pataki lati kọ gbogbo ojutu ti awọn eto ti PCM idogba. O yoo ni ni o kere kan ayípadà.

ipari

Nibi ti a wá si opin. Lati akopọ: a ni lati ni oye ohun ti awọn eto iwe sekondiri, kẹkọọ lati ri gbogbo ojutu ti a eto ti PCM idogba. Ni afikun ti a kà awọn aṣayan miiran. A ṣayẹwo jade bi o lati yanju awọn ọna šiše ti PCM idogba: Gaussiani imukuro ati Cramer ká ofin. A ti sọrọ nipa soro igba ati awọn miiran ona ti wiwa solusan.

Ni pato, yi oro jẹ Elo siwaju sii sanlalu, ati awọn ti o ba ti o ba fẹ lati dara ni oye ti o, a ni imọran ti o lati ka diẹ ẹ sii ti awọn specialized litireso.