Awọn oriṣiriṣi jẹ ohun ti? Bawo ni lati wa iyatọ ti iṣẹ kan?

Pẹlú pẹlu awọn itọsẹ Awọn iṣẹ wọn Awọn oriṣiriṣi jẹ diẹ ninu awọn ti awọn ipilẹ agbekale ti awọn iyato kalkulosi, awọn ifilelẹ ti awọn apakan ti mathematiki onínọmbà. Ti o ba jẹ asopọ ti ko ni iyasọtọ, wọn ti lo fun igba pupọ lati se atunto fere gbogbo awọn iṣoro ti o waye ni ilọsiwaju ti awọn ijinle sayensi ati imọ-ẹrọ ti eniyan.

Awọn orisun ti iro ti iyatọ

Fun igba akọkọ o salaye ohun ti iyatọ jẹ, ọkan ninu awọn ẹlẹda (pẹlú Isaaki Newton) ti isiro ti o yatọ, Gemfried Wilhelm Leibniz. Ṣaaju si awọn mathematicians 17 aworan. Aṣeyọri idaniloju ati idaniloju kan ti a lo nipa diẹ ninu awọn ẹya "ti a ko le ṣalaye" ti eyikeyi iṣẹ ti a mọ ti o ni ipoduduro iye owo ti o ni iye diẹ, ṣugbọn ko dọgba si odo, kere ju eyi ti awọn iye ti iṣẹ naa ko le ṣe. Nitori naa, igbesẹ kan ni igbesẹ ṣaaju iṣaaju ifitonileti awọn iṣiro ailopin ninu awọn ariyanjiyan ti awọn iṣẹ ati awọn iṣiro ti o yẹ fun awọn iṣẹ ara wọn, ti a sọ ni awọn ofin ti awọn itọjade ti igbehin. Ati igbesẹ yii ni o fẹrẹ ṣe ni nigbakannaa nipasẹ awọn onimo ijinlẹ nla ti o sọ tẹlẹ.

Ilana ti o nilo lati yanju awọn iṣoro awọn iṣoro ti awọn iṣeduro, eyiti o jẹ ki awọn ile-iṣẹ ati imọ-ẹrọ to dagbasoke si ijinlẹ sayensi, Newton ati Leibniz ṣẹda awọn ọna ti o wọpọ fun wiwa iyipada ti awọn iṣẹ (nipataki pẹlu iṣiro ọna-ara ti ara pẹlu itọkasi ti a mọ), eyiti o mu ki iṣasi awọn agbekale bẹ, Gẹgẹbi itọsẹ ati iyatọ ti iṣẹ kan, o tun ri algorithm fun idaro iṣoro ti ko ni iyipada, bi ninu iyara (iyipada) ti a mọ (iyaṣe) wa ọna ti o kọja, eyiti o yori si farahan ti ariyanjiyan ti integr Ala.

Ni awọn iwe ti Leibniz ati Newton, akọkọ kọ pe awọn iyatọ jẹ iwontunwọn si awọn idiyele ti awọn ariyanjiyan Δx, awọn ẹya pataki ti awọn iṣiro ti awọn iṣẹ A, eyi ti a le ṣe ni ifijišẹ lati ṣe iṣiro awọn iye ti igbehin. Ni awọn ọrọ miiran, wọn ṣe akiyesi pe igbiyanju ti iṣẹ kan le ṣe afihan ni eyikeyi aaye (inu aaye ti itumọ rẹ) nipasẹ awọn itọjade rẹ bi Δy = y '(x) Δx + αΔx, ibi ti αΔx jẹ iyokù ti n duro si odo bi Δx → 0, ni kiakia ju Δx lọ.

Gẹgẹbi awọn oludasile ti awọn ayaalysis, awọn iyatọ ti wa ni gangan ọrọ akọkọ ni awọn expressions fun awọn increments ti eyikeyi awọn iṣẹ. Ko si ni agbọye kedere ti ipinnu ti awọn abala, wọn ni oye ti o daju pe iye ti iyatọ ṣe duro si idiyele ti iṣẹ bi Δx → 0 - Δy / Δx → y '(x).

Kii Newton, ẹniti o jẹ pataki onisẹsẹ kan, ti o si ṣe akiyesi ohun elo mathematiki gẹgẹbi ọpa alakoko fun awọn ẹkọ ti ara ẹni, Leibniz sanwo diẹ sii si ohun elo yii, pẹlu eto ti awọn imọran inu ati oye ti oye titobi. O ni ẹniti o dabaa awọn akọsilẹ ti a gba silẹ fun gbogbo awọn iṣẹ ti o yatọ ti dy = y '(x) dx, ariyanjiyan ariyanjiyan ati itọsẹ ti iṣẹ naa ni irisi ratio wọn' (x) = dy / dx.

Itumọ ode oni

Kini iyatọ ti o wa ninu awọn imọran igbalode igbalode? O ti ni ibatan pẹkipẹki pẹlu iro ti increment ti a ayípadà. Ti o ba ti ayípadà y gba a akọkọ iye ti y y = _1, ki o si y = y _2, ni iyato y ₂ ─ y ₁ ni a npe ni increment iye y. Iyipada naa le jẹ rere. Negeti ati dọgba si odo. Awọn ọrọ "increment" ti wa ni ifọkasi nipasẹ Δ, igbasilẹ Δy (ka "delta yerk") nfihan ifarasi ti y. ki Δu = y ₂ ─ y _1.

Ti iye Aay ti iṣẹ alailowaya y = f (x) le wa ni ipoduduro bi Δy = A Δx + α, ibi ti A ko dale lori Δx, ti o jẹ, A = const fun a fun x, ati pe α bi Δx → 0 n duro si O ti ni kiakia ju Δx lọ, lẹhinna akọkọ ("akọkọ") ti o yẹ fun Δx, ati fun y = f (x) awọn ifọkasi iyatọ nipasẹ Dy tabi df (x) (o jẹ "ere", "eff lati x"). Nitorina, awọn oriṣiriṣi awọn ẹya ara ẹrọ "akọkọ" awọn iṣiro ti awọn iṣẹ ti o jẹ asopọ ila pẹlu Δx.

Itumọ itumọ

Jẹ ki s = f (t) - ijinna ni kan ni ila gbooro gbigbe awọn ohun elo ti ojuami lati ibẹrẹ ipo (t - irin ajo ti akoko). Iwọn naa ni Δs ni ọna ti ojuami lori akoko akoko Δt, ati iyatọ ds = f '(t) Δt ni ọna ti aaye naa yoo ti kọja ni akoko kanna Δt ti o ba ti ni idaduro iyara f' (t) de ni akoko t . Fun idiwọn Aita, titele ọna ds yatọ si Δs otitọ nipasẹ iye ailopin ti o ni aṣẹ ti o ga julọ pẹlu Δt. Ti o ba jẹ pe akoko idaraya kii ṣe odo, lẹhinna ds yoo fun iye ti o sunmọ ti kekere gbigbe ti aaye naa.

Itumọ geometric

Jẹ ki ila L jẹ apẹrẹ ti y = f (x). Nigbana ni Δx = MQ, Δy = QM '(wo nọmba rẹ ni isalẹ). MN idaniloju pin ẹya-ara Lọ sinu awọn ẹya meji, QN ati NM '. Ni akọkọ jẹ iwontunwọn si Δx ati pe o dọgba si QN = MQ ∙ tg (igun QMN) = Δx f '(x), ti o jẹ pe, QN jẹ iyatọ ti o yatọ.

Apa keji ti NM ni a fun nipasẹ iyatọ Nibayi: fun Δx → 0, ipari ti NM 'dinku ani diẹ sii ju iyara ti ariyanjiyan lọ, eyini ni, ilana ti kekere jẹ ti o ga ju ti Δx. Ninu idiyele ti a ṣe ayẹwo, fun f '(x) ≠ 0 (aṣoju ko ni afiwe si OX), awọn ipele QM ati QN jẹ deede; Ni gbolohun miran, NM 'n dinku yarayara (aṣẹ ti kekere jẹ ga julọ) ju ilọpo gbogbo lọ Δy = QM'. Eyi ni a ri ninu nọmba rẹ (pẹlu ọna ti M'kM, apakan ti NM' jẹ ipin ogorun ti o kere julọ ti apa QM ').

Bayi, ṣe afihan iyatọ ti iṣẹ-ṣiṣe alainididi jẹ dọgba pẹlu titobi igbasilẹ ti awọn ilana ti iṣagbera rẹ.

Awọn itọsẹ ati iyatọ

Asodipupo A ni oro akọkọ ti ikosile fun iṣiro ti iṣẹ kan jẹ dogba pẹlu awọn iyatọ f '(x). Bayi, ibatan ti o wa ni: dy = f '(x) Δx, tabi df (x) = f' (x) Δx.

A mọ pe iṣiro ti ariyanjiyan ominira jẹ dọgba si oriṣiriṣi oriṣiriṣi Δx = dx. Gẹgẹ bẹ, a le kọ: f '(x) dx = dy.

Awọn wiwa (nigbamii sọ, "ojutu") ti awọn oriṣiriṣi oriṣiriṣi ni a ṣe nipasẹ awọn ofin kanna bi fun awọn itọsẹ. Awọn akojọ ti wọn ni a fun ni isalẹ.

Kini diẹ sii ni gbogbo agbaye: itumọ ti ariyanjiyan tabi awọn iyatọ rẹ

Nibi o jẹ pataki lati ṣe awọn alaye diẹ. Aṣiṣe ti iyatọ f '(x) Δx ṣee ṣe nigbati a ba kà x bi ariyanjiyan. Ṣugbọn iṣẹ naa le jẹ idijẹ, ninu eyiti x le jẹ iṣẹ ti diẹ ninu ariyanjiyan t. Nigbana ni aṣoju ti iyatọ nipasẹ ikosile f '(x) Δx, bi ofin, ko ṣee ṣe; Ayafi fun idi ti igbelaruge ti linear x = ni + b.

Bi fun agbekalẹ f '(x) dx = dy, lẹhinna ninu ọran ti ariyanjiyan x (lẹhinna dx = Δx), ati ninu ọran ti ifaramọ deede ti x lori t, o duro fun iyatọ kan.

Fun apẹẹrẹ, awọn ikosile 2 x Δh ni fun y = x ² awọn oniwe-iyato nigba ti x jẹ ẹya ariyanjiyan. A bayi x = t ² ati ki o ro t ariyanjiyan. Ki o si y = x ² = t ^4.

Yi ti ni atẹle nipa (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Nibi Δh = 2tΔt + Δt ^2. Nibi: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Ifihan yii ko ṣe deede fun Δt ati nitorina 2xΔx kii ṣe iyatọ. O le ri lati awọn idogba y = x ² = t ^4. O ti wa ni dogba dy = 4t ³ Δt.

Ti a ba ya awọn ikosile 2xdx, o jẹ awọn iyato y = x ² fun eyikeyi ariyanjiyan t. Nitootọ, nigbati x = t ² gba DX = 2tΔt.

Ki 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. The ikosile differentials ti o ti gbasilẹ nipasẹ meji ti o yatọ oniyipada pekinreki.

Rirọpo awọn iṣiro nipasẹ awọn iyatọ

Ti f '(x) ≠ 0, lẹhinna Δy ati dy jẹ deede (fun Δx → 0); Fun f '(x) = 0 (eyi ti o tumọ si dy = 0), wọn kii ṣe deede.

Fun apẹẹrẹ, ti o ba y = x ^2, ki o si Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² ati dy = 2xΔh. Ti o ba ti x = 3, ki o si a ni Δu = 6Δh + Δh ² ati dy = 6Δh ti o wa ni deede nitori Δh ² → 0, nigbati x = 0 iye Δu = Δh ² ati dy = 0 wa ni ko deede.

O daju yii, pẹlu ọna ti o rọrun ti iyatọ (bii ila, ilara pẹlu Δx), ni a maa n lo ni awọn iṣiro to sunmọ, labẹ ero pe Δy ≈ dy fun kekere Δx. Wiwa iyatọ ti iṣẹ kan jẹ nigbagbogbo rọrun ju ṣe apejuwe iye gangan ti increment.

Fun apẹẹrẹ, a ni idapada irin pẹlu eti x = 10.00 cm Nigbati o ba gbona, eti ti o to nipasẹ Δx = 0.001 cm. Bawo ni iwọn V ti kububu naa ti pọ sii? A ni V = x ^2, ki DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ February ¹⁰ 0/01 = 3 (cm ^3). Alekun ΔV deede iyato DV, ki ΔV = 3 cm ^3. Full isiro yoo fun ³ ΔV = 10,01 ─ March ¹⁰ = 3.003001. Ṣugbọn ni abajade yii, gbogbo awọn afihan ayafi ti akọkọ jẹ alaigbagbọ; Nitorina, o jẹ ṣi pataki lati se ikotan soke to 3 cm ^3.

O han ni, iru ọna yii jẹ wulo nikan ti o ba ṣeeṣe lati ṣe idiyee titobi aṣiṣe ti a ṣe.

Iyatọ ti iṣẹ: apeere

Jẹ ká gbiyanju lati wa awọn iyato ti awọn iṣẹ y = x ^3, wiwa awọn itọsẹ. Jẹ ki a fun ni ariyanjiyan naa ni afikun ki o si ṣe afihan Δy.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Nibi, awọn alafisodipupo A = 3x ² ko ko duro lori Δh, ki awọn akọkọ oro ni iwon Δh, awọn miiran egbe 3xΔh Δh ² + ³ Nigbati Δx → 0, o dinku ju iyara lọ ti ariyanjiyan lọ. Nitori naa, a egbe ti 3x ² Δh ni awọn iyato ti y = x ^3:

Dy = 3x2 Δx = 3x2 dx tabi d (x3) = 3x2 dx.

Eyiti d (x ³⁾ / DX = 3x2.

A ti rii bayi ti iṣẹ y = 1 / x ni awọn ofin ti awọn itọsẹ rẹ. Ki o si d (1 / x) / DX = ─1 / x ^2. Nitorina dy = ─ Δh / x ^2.

Awọn oriṣiriṣi awọn iṣẹ algebra ti o wa ni isalẹ ni a fun ni isalẹ.

Awọn iširo ti o sunmọ nipa lilo iyatọ

Nigbagbogbo ko nira lati ṣe iṣiro iṣẹ f (x), bakanna pẹlu awọn itọnisọna f '(x) fun x = a, ṣugbọn kii ṣe rọrun lati ṣe ohun kanna ni adugbo ti aaye x = a. Nigbana ni ikosile ipari kan wa si igbala

F (a + Δx) ≈ f '(a) Δx + f (a).

O fun ni iye to sunmọ ti iṣẹ fun awọn iwọn kekere Δx nipasẹ awọn iyatọ f '(a) Δx.

Nitori naa, agbekalẹ yii fun ikosile isunmọ fun iṣẹ ni aaye ipari ti apakan kan ti ipari Δx bi iye owo iye rẹ ni aaye ibẹrẹ ti apakan yii (x = a) ati iyatọ ni ibẹrẹ bii kanna. Aṣiṣe ni ọna yii ti ṣiṣe ipinnu iye ti iṣẹ naa jẹ apejuwe ninu nọmba rẹ ni isalẹ.

Sibẹsibẹ, ọrọ gangan fun iye ti iṣẹ naa fun x = a + Δx ti a fun nipasẹ awọn agbekalẹ ti awọn imuduro ti ko to (tabi, ni awọn ọrọ miiran, nipasẹ agbekalẹ Lagrange)

F (a + Δx) ≈ f '(ξ) Δx + f (a),

Nibo ni ojuami x = a + ξ jẹ lori apa lati x = a si x = A + Δx, biotilejepe ipo rẹ gangan ko mọ. Ilana gangan ṣe o ṣee ṣe lati ṣe apejuwe aṣiṣe ti agbekalẹ to sunmọ. Ti o ba jẹ pe, sibẹsibẹ, a ṣeto ξ = Δx / 2 ni agbekalẹ Lagrangian, bi o ti jẹ pe o dẹkun lati jẹ gangan, o maa n fun ni isunmọ ti o dara julọ ju idaniloju atilẹba ni awọn ọna iyatọ.

Iṣiro ti aṣiṣe ti awọn agbekalẹ nipa lilo iyatọ

Idiwon ohun èlò , ni opo, pe iro ni, ki o si mu si awọn wiwọn data bamu si awọn aṣiṣe. Wọn ti wa ni characterized nipa diwọn ohun awọn idi aṣiṣe, tabi, ni kukuru, awọn iye aṣiṣe - rere, kedere gidigidi awọn ašiše ni ifise iye (tabi ni julọ dogba si o). Diwọn ohun ti awọn ojulumo aṣiṣe ni a npe ni quotient gba nipa pin o nipa awọn idi iye ti awọn won iye.

Jẹ ki a ṣe itọsọna gangan y = f (x) lati ṣe iṣiro iṣẹ y, ṣugbọn iye ti x jẹ abajade ti wiwọn ati nitorina ṣafihan aṣiṣe ni y. Lẹhin naa, lati rii idiwọn idiwọn idiwọn ti 他Δy│ ti iṣẹ y, lo ilana

│Δу│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δх│,

Nibo ni │Δx│ jẹ aṣiṣe idiwọn ti ariyanjiyan naa. Iye │Δy│ yẹ ki o wa ni oke soke, nitori Rirọpo iṣiro ti iṣiro naa nipasẹ titoṣi ti iyatọ jẹ ti ko tọ.