PCM ati isokan iyato idogba ti akọkọ ibere. apeere ti solusan

Mo ro pe o yẹ ki a bẹrẹ pẹlu awọn itan ti awọn ogo mathematiki ọpa bi iyato idogba. Bi gbogbo awọn iyato ati ki o je kalkulosi, awon idogba ti won se nipa Newton ni pẹ lati odunrun 17je orundun. O gbà o je rẹ Awari ki pataki ti ani awọn ti paroko ifiranṣẹ, eyi ti loni le ti wa ni túmọ bi wọnyi: "Gbogbo awọn ofin ti iseda ṣàpèjúwe nipa iyato idogba." O le dabi ohun exaggeration, sugbon o ni otito. Eyikeyi ofin ti fisiksi, kemistri, isedale, le ti wa ni ṣàpèjúwe nipasẹ awọn wọnyi idogba.

Ohun tobi pupo ilowosi si awọn idagbasoke ati ẹda ti yii ti iyato idogba ni mathimatiki ti Euler ati Lagrange. Si tẹlẹ ninu awọn 18th orundun ti won se awari ki o si ni idagbasoke ohun ti wa ni bayi keko ni oga University courses.

A titun de ni awọn iwadi ti iyato idogba bẹrẹ ọpẹ si Anri Puankare. O si da a "ti agbara yii ti iyato idogba", eyi ti, ni idapo pelu yii ti iṣẹ ti eka oniyipada contributed significantly si awọn ipile ti oju ile - awọn aisan ti aaye ati awọn oniwe-ini.

Ohun ti o wa iyato idogba?

Ọpọlọpọ awọn eniyan ni o bẹru ti awọn gbolohun "iyato idogba". Sibẹsibẹ, ni yi article a yoo ṣeto jade ninu awọn apejuwe awọn lodi ti yi gan wulo mathematiki ọpa ti o jẹ kosi ko bi idiju bi o ti dabi lati awọn akọle. Ni ibere lati bẹrẹ lati soro nipa a akọkọ-ibere iyato idogba, o gbọdọ akọkọ to acquainted pẹlu awọn ipilẹ agbekale ti o ti wa inherently ni nkan ṣe pẹlu yi definition. Ati awọn ti a yoo bẹrẹ pẹlu awọn iyato.

iyato

Opolopo awon eniyan mo yi oro niwon ile-iwe giga. Sibẹsibẹ, si tun gbé lori o ni apejuwe awọn. Fojuinu awọn awonya ti awọn iṣẹ. A le se alekun ti o si iru ohun iye ti eyikeyi ti awọn oniwe-apa di kan ni ila gbooro. O yoo gba ojuami meji ti o wa ni bi sunmo si kọọkan miiran. Awọn iyato laarin wọn ipoidojuko (x tabi y) jẹ infinitesimal. Ati awọn ti o ni a npe ni iyato ati awọn ohun kikọ designate dy (iyato ti y) ati DX (awọn iyato ti x). O ṣe pataki lati ni oye wipe iyato ni ko ni Gbẹhin iye, eyi si ni itumo ati awọn ifilelẹ ti awọn iṣẹ.

Ki o si bayi o gbọdọ ro awọn wọnyi eroja, eyi ti a yoo nilo lati se alaye awọn iyato idogba Erongba. O - itọsẹ.

itọsẹ

Gbogbo wa gbọdọ ti gbọ ni ile-iwe ki o si yi iro. Nwọn si sọ pe awọn itọsẹ - ni awọn oṣuwọn ti idagbasoke tabi isalẹ ti awọn iṣẹ. Sibẹsibẹ, yi definition di diẹ airoju. Jẹ ki a gbiyanju lati se alaye awọn itọsẹ awọn ofin ti awọn differentials. Jẹ ká lọ pada si infinitesimal aarin iṣẹ pẹlu ojuami meji, eyi ti o ti wa ni be ni kan kere ijinna lati kọọkan miiran. Sugbon ani kọja yi ijinna iṣẹ ni akoko lati yi si diẹ ninu awọn iye. Ati lati se apejuwe ti o ayipada ki o si wá soke pẹlu kan itọsẹ ti yoo bibẹkọ ti wa ni a kọ bi awọn ipin ti awọn differentials: f (x) '= DF / DX.

Bayi o jẹ pataki lati ro awọn ipilẹ-ini ti awọn itọsẹ. Nibẹ ni o wa nikan mẹta:

1. Itọsẹ iye tabi awọn iyato le ti wa ni ipoduduro bi iye tabi iyato ti awọn itọsẹ: (a + b) '= a' + b ', ati (ab)' = a'-b '.
2. Awọn keji ohun ini ti sopọ pẹlu isodipupo. Itọsẹ ise - ni iye ti awọn iṣẹ ti ọkan iṣẹ si miiran itọsẹ: (a * b) '= a' * b + a * b '.
3. Awọn itọsẹ ti awọn iyato le ti wa ni kọ bi awọn wọnyi idogba: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

Gbogbo awọn wọnyi awọn ẹya ara ẹrọ wa ni ọwọ fun wiwa solusan lati iyato idogba ti akọkọ ibere.

Bakannaa, nibẹ ni o wa apa kan itọsẹ. Ka so pe a ni a iṣẹ ti awọn z, eyi ti o da lori awọn oniyipada x ati y. Lati ṣe iṣiro awọn apa kan itọsẹ ti yi iṣẹ, fun apẹẹrẹ, ninu x, a nilo lati ya awọn ayípadà y fun ibakan ati ki o rọrun lati le ṣe iyatọ.

je

Miran ti pataki Erongba - je. Ni o daju o ni idakeji ti itọsẹ. Integrals wa ni ọpọlọpọ awọn orisi, ṣugbọn awọn alinisoro solusan ti iyato idogba, a nilo awọn julọ bintin tí ó lọ kánrin integrals.

Nítorí náà, ohun ti o jẹ ti awọn je? Jẹ ká sọ ti a ni diẹ ninu awọn ibasepo f of x. A ya lati o ni je ki o si gba a iṣẹ F (x) (o ti wa ni igba tọka si bi a atijo), eyi ti o jẹ a itọsẹ ti awọn atilẹba iṣẹ. Nitorina F (x) '= f (x). Eleyi tun tumo si pe awọn je ti awọn itọsẹ ni dogba si awọn atilẹba iṣẹ.

Ni lohun iyato idogba o jẹ gidigidi pataki lati ni oye awọn itumo ati iṣẹ ti awọn je, niwon gan igba ni lati mu wọn lati ri solusan.

Awọn idogba wa ti o yatọ da lori wọn iseda. Ni nigbamii ti apakan ti a yoo wo ni orisi ti akọkọ ibere iyato idogba, ati ki o ko bi lati yanju wọn.

Kilasi ti iyato idogba

"Diffury" pin nipa awọn aṣẹ ti awọn itọsẹ lowo ninu wọn. Bayi nibẹ ni a akọkọ, keji, kẹta tabi diẹ ẹ sii ibere. Nwọn le tun ti wa ni pin si orisirisi kilasi: arinrin ati apa kan.

Ni yi article, a yoo ro awọn arinrin iyato idogba ti akọkọ ibere. Apeere ati awọn solusan ti a ọrọ ninu awọn wọnyi ruju. A ro nikan ni TAC nitori ti o ni wọpọ orisi ti idogba. Arinrin pin si subspecies: pẹlu separable oniyipada, isokan ati orisirisi eniyan. Next o yoo ko bi wọn ti yato lati kọọkan miiran, ki o si ko bi lati yanju wọn.

Ni afikun, awon idogba le wa ni idapo, ki lẹhin ti a gba a eto ti iyato idogba ti akọkọ ibere. Iru awọn ọna šiše, a tun wo ni o si ko bi lati yanju.

Idi ti a ba nikan ni igba akọkọ ibere? Nitori ti o jẹ pataki lati bẹrẹ pẹlu kan rọrun ati ki o apejuwe gbogbo nkan ṣe pẹlu iyato idogba, ni kan nikan article o jẹ soro.

Idogba pẹlu separable oniyipada

Eleyi jẹ boya julọ o rọrun akọkọ ibere iyato idogba. Wọnyi ni o wa apeere ti o le wa kọ bi: y '= f (x) * f (y). Lati yanju yi idogba ti a nilo awọn oniduro agbekalẹ ti awọn itọsẹ bi awọn ipin ti awọn differentials: y '= dy / DX. Pẹlu ti o ti a gba awọn idogba: dy / DX = f (x) * f (y). Bayi a le tan si awọn ọna ti lohun boṣewa apeere: ya awọn oniyipada ni awọn ẹya ara, ie sare siwaju gbogbo awọn ayípadà y ni apa ibi ti o wa ni dy, ki o si tun ṣe awọn ayípadà x ... A gba ohun idogba ti awọn fọọmu: dy / f (y) = f (x) DX, eyi ti o waye nipa mu awọn integrals ninu awọn meji awọn ẹya ara. Maa ko gbagbe nipa awọn ibakan ti o fẹ lati fi lẹhin ti Integration.

Awọn ojutu ti eyikeyi "diffura" - ni iṣẹ kan ti x nipa y (ninu wa nla), tabi ti o ba nibẹ ni a ìtúwò majemu, idahun si jẹ nọmba kan. Ẹ jẹ ki wadi a nja apẹẹrẹ gbogbo papa ti awọn ipinnu:

y '= 2y * ẹṣẹ (x)

Gbe awọn oniyipada ni orisirisi awọn itọnisọna:

dy / y = 2 * ẹṣẹ (x) DX

Bayi ya awọn integrals. Gbogbo awọn ti wọn le ri ni pataki kan tabili ti integrals. Ati awọn ti a gba:

Ln (y) = -2 * nitori (x) + C

Ti o ba ti beere, a le han awọn "y" bi iṣẹ kan ti "X". Bayi a le so pe wa iyato idogba wa ni re, ti o ba ko pàtó kan majemu. Le ti wa ni pàtó kan majemu, fun apẹẹrẹ, y (n / 2) = e. Ki o si a yoo nìkan aropo iye ti awọn wọnyi oniyipada ni ipinnu ati ki o ri awọn iye ti awọn ibakan. Ni wa apẹẹrẹ, o jẹ 1.

Isokan akọkọ ibere iyato idogba

Bayi lori si awọn eka sii awọn ẹya ara. Isokan akọkọ ibere iyato idogba le wa ni kọ ni gbogbo fọọmu bi: y '= z (x, y). O yẹ ki o wa woye wipe awọn ọtun iṣẹ ti meji oniyipada ni aṣọ ile, ati awọn ti o le wa ko le pin si meji ti o da lori: z x ati z ti y. Ṣayẹwo boya idogba ni isokan tabi ko, jẹ ohun rọrun: a ṣe awọn fidipo x = k * x ati y = k * y. Bayi a ge gbogbo k. Ti o ba ti awọn lẹta ti wa ni silẹ, ki o si idogba isokan ati ki o le kuro lailewu tẹsiwaju si awọn oniwe-ojutu. Nwa wa niwaju, a sọ pé: awọn opo ti ojutu ti awọn wọnyi apeere jẹ tun gan o rọrun.

A nilo lati ṣe awọn fidipo: y = t (x) * x, ibi ti t - iṣẹ kan ti o tun da lori x. Ki o si a le han ni itọsẹ: y '= t' (x) * x + t. Substituting gbogbo eyi sinu wa atilẹba idogba ati simplifying o, a ni awọn apẹẹrẹ ti awọn Iyapa ti àwọn ayípadà t bi x. Yanju o ati ki o gba awọn gbára ti t (x). Nigba ti a ba ni o, nìkan aropo wa tẹlẹ fidipo y = t (x) * x. Ki o si a gba awọn gbára ti y on x.

Lati ṣe awọn ti o clearer, a ki yio ye ohun apẹẹrẹ: x * y '= yx * e y / x.

Nigba ti yiyewo awọn rirọpo ti gbogbo declining. Nítorí, idogba jẹ gan isokan. Bayi ṣe miiran fidipo, a ti sọrọ nipa: y = t (x) * x ati y '= t' (x) * x + t (x). Lẹhin ti simplification awọn wọnyi idogba: t '(x) * x = -E t. A pinnu lati gba a ayẹwo pẹlu yà oniyipada ati awọn ti a ^{gba: e -t = Ln (C *} x). A o kan nilo lati ropo t nipa y / x (nitori ti o ba y = t * x, ki o si t = y / x), ati awọn ti a gba awọn ^{idahun: e -y / x = Ln (} x * C).

PCM iyato idogba ti akọkọ ibere

O ni akoko lati ro miiran ọrọ koko. A yoo wo orisirisi eniyan akọkọ-ibere iyato idogba. Bawo ni nwọn yato lati awọn ti tẹlẹ meji? Jẹ ki ká koju si o. PCM akọkọ ibere iyato idogba ni gbogbo fọọmu ti idogba le ti wa ni kọ bayi: y '+ g (x) * y = z (x). O yẹ ki o wa ni clarified wipe z (x) ati g (x) ki o le jẹ ibakan síi.

Eyi ni àpẹẹrẹ: y '- y * x = x ^2.

Nibẹ ni o wa ọna meji lati yanju, ati awọn ti a bere fun Ẹ jẹ ki wadi mejeji ti wọn. Ni igba akọkọ ti - awọn ọna ti iyipada ti lainidii àwọn adúróṣinṣin.

Lati yanju awọn idogba ni ona yi, o jẹ pataki lati equate akọkọ ọtun-ọwọ ẹgbẹ si odo, ati ki o yanju awọn Abajade idogba eyi ti lẹhin ti awọn gbigbe ti awọn ẹya di:

y '= y * x;

dy / DX = y * x;

dy / y = xdx;

Ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Bayi o jẹ pataki lati ropo ibakan C ₁ lori awọn iṣẹ v (x), eyi ti a yoo ri.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Fa a rirọpo itọsẹ:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

Ati substituting wọnyi expressions sinu idogba:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

O le ri pe ni apa osi ti awọn meji awọn ofin ti wa ni dinku. Ti o ba ti diẹ ninu awọn apẹẹrẹ ti ko ṣẹlẹ, ki o si ti ṣe nkankan ti ko tọ. A tesiwaju lati:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Bayi a yanju awọn ibùgbé idogba ninu eyi ti o fẹ lati pàla awọn oniyipada:

DV / DX = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

DV = x ² * e ^{- x2 / 2} DX.

Lati yọ awọn je, a ni lati waye awọn Integration nipa awọn ẹya ara nibi. Sibẹsibẹ, yi ni ko ni koko ti yi article. Ti o ba nife, o le ko eko lori ara wọn lati gbe jade iru awọn sise. O ti wa ni ko soro, ati pẹlu to olorijori ati itoju ni ko akoko n gba.

Ifilo si awọn ọna keji ni ojutu ti awọn inhomogeneous idogba: Bernoulli ọna. Ohun ti ona ni yiyara ati ki o rọrun - o ni soke si ọ.

Nítorí náà, nígbà tí lohun yi ọna, a nilo lati ṣe awọn fidipo: y = k * n. Nibi, k ati ki o n - diẹ ninu awọn iṣẹ ti o da lori x. Ki o si awọn itọsẹ yoo wo bi: y '= k' * n + k * n '. Aropo meji substitutions ni idogba:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Group soke:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Bayi o jẹ pataki lati equate si odo, ti o wa ni akomo. Bayi, ti o ba darapọ awọn meji Abajade idogba, a gba a eto ti akọkọ ibere iyato idogba to wa ni re:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

Ni igba akọkọ ti Equality pinnu bi awọn ibùgbé idogba. Lati ṣe eyi, o nilo lati pàla awọn oniyipada:

DN / DX = x * v;

DN / n = xdx.

A ya awọn je ati awọn ti a gba: Ln (n) = x ^2/2. Ki o si, ti o ba a han n:

n = e ^{x2 / 2.}

Bayi aropo awọn Abajade idogba na si idogba keji:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Ati nyi, a gba kanna idogba bi ni akọkọ ọna:

DK = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

A tun yoo ko ọrọ siwaju sii igbese. O ti so wipe ni akọkọ akọkọ-ibere iyato idogba ojutu fa akude isoro. Sibẹsibẹ, a jinle immersion ni koko ti wa ni ti o bere lati gba dara ati ki o dara.

Nibo ni iyato idogba?

Gidigidi lọwọ iyato idogba lo ninu fisiksi, bi fere gbogbo awọn ipilẹ awọn ofin ti wa ni kọ ni iyato fọọmu, ati awon fomula, ti a ri - a ojutu si awon idogba. Ni kemistri, ti won ti wa ni lilo fun idi kanna: awọn ipilẹ awọn ofin ti wa ni yo nipasẹ wọn. Ni isedale, awọn iyato idogba ti wa ni lo lati awoṣe awọn ihuwasi ti ọna šiše, bi Apanirun - ọdẹ. Ti won tun le ṣee lo lati ṣẹda si dede ti atunse, fun apẹẹrẹ, iti ti microorganisms.

Bi iyato idogba ran ni aye?

Awọn idahun si ibeere yi ni o rọrun: ohunkohun. Ti o ba ti o ba wa ni ko kan ọmowé tabi ẹlẹrọ, o jẹ išẹlẹ ti pe won yoo jẹ wulo. Sibẹsibẹ, ko ipalara lati mọ ohun ti awọn iyato idogba ati awọn ti o wa ni re fun awọn ìwò idagbasoke. Ati ki o si ibeere ti a ọmọkunrin tabi ọmọbinrin, "ohun ti a iyato idogba?" ko fi o ni kan okú opin. Daradara, ti o ba ti o ba wa ni a ọmowé tabi ẹlẹrọ, ki o si mọ pataki ti yi koko ni eyikeyi Imọ. Ṣugbọn o ṣe pataki julọ, ti bayi to awọn ibeere "bi o si yanju awọn iyato idogba ti akọkọ ibere?" o yoo ma ni anfani lati fi èsi. Gba, o jẹ nigbagbogbo dara nigba ti o ba mọ pe ohun ti eniyan ni o wa ani bẹru lati wa jade.

Awọn ifilelẹ ti awọn isoro ninu iwadi

Awọn ifilelẹ ti awọn isoro ni oye ti yi koko ni a buburu habit ti Integration ati yiyatọ iṣẹ. Ti o ba ti o ba wa ni korọrun IRANLỌWỌ itọsẹ ati integrals, o jẹ jasi tọ diẹ sii lati ko eko, lati ko eko ti o yatọ si awọn ọna ti Integration ati yiyatọ, ati ki o nikan ki o si tẹsiwaju si awọn iwadi ti awọn ohun elo ti o ti a ti se apejuwe ninu awọn article.

Diẹ ninu awọn eniyan ni o wa yà lati ko eko ti o DX le ti wa ni ti o ti gbe, bi tẹlẹ (ni ile-iwe) jiyan wipe ida dy / DX ni indivisible. Ki o si o nilo lati ka awọn litireso lori awọn itọsẹ ati oye wipe o ni awọn iwa ti bi kekere titobi, eyi ti le wa yii ni lohun idogba.

Ọpọlọpọ awọn eniyan ma ko lẹsẹkẹsẹ mọ pe awọn ojutu ti iyato idogba ti akọkọ ibere - yi ni igba kan iṣẹ tabi neberuschiysya je, ki o si yi delusion yoo fun wọn a pupo ti wahala.

Kini ohun miiran le ti wa ni iwadi to dara ni oye?

O ti wa ni ti o dara ju lati bẹrẹ siwaju immersion si aiye ti iyato kalkulosi ti specialized àkànlò, fun apẹẹrẹ, ninu mathematiki onínọmbà fun omo ti ti kii-mathematiki Imo. O le lẹhinna gbe lọ si awọn diẹ specialized litireso.

O ti so wipe, ni afikun si awọn iyato, nibẹ ni o wa si tun je idogba, ki o yoo ma ni nkankan lati du fun ati ohun ti lati iwadi.

ipari

A lero wipe lẹhin kika yi article o yoo ni ohun agutan ti ohun ti awọn iyato idogba ati bi o si yanju wọn ti tọ.

Ni eyikeyi nla, mathimatiki ni eyikeyi ọna wulo lati wa ni aye. O ndagba kannaa ati akiyesi, lai si eyi ti olukuluku, bi lai ọwọ.